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贝塞尔曲线

QPainterPath 可以用来画贝塞尔曲线,什么是贝塞尔曲线呢?开始学的时候,经常听到贝塞尔曲线,但一直不知道是什么东西,很神秘的样子,据说很复杂,一直没敢学,人类对陌生的东西总是有恐惧感,这一部分就来揭开贝塞尔曲线神秘的面纱(大部分内容都来自于网络)。

贝塞尔曲线(The Bézier Curves),是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线(3D的称为曲面)。贝塞尔曲线于1962年,由法国工程师皮埃尔·贝塞尔(Pierre Bézier)所发表,他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝塞尔曲线由线段与节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线,在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具,如PhotoShop等。

贝塞尔曲线还是很抽象的,如果不是看了下面的这些动态图,演示了贝塞尔曲线的生成过程,估计仍然很难明白贝塞尔曲线是什么样的,控制点是什么,有什么用。

塞尔曲线的通用公式为:

看上去是不是很复杂,难以理解?谁都一样,开始时看到这么复杂的公式,都会头大,但是看完下面的一阶,二阶,三阶贝塞尔曲线的方程和生成动画后就明白了,原来大名鼎鼎的贝塞尔曲线也不难嘛。

一阶贝塞尔曲线 就是线段,没有控制点,其参数方程为

下图是生成一阶贝塞尔曲线的动画:

二阶贝塞尔曲线 只有一个控制点,为 P1,其参数方程为

下图是生成二阶贝塞尔曲线的动画:

把其中的任意一帧拿出来分析,可以看到 MP0/MP1,NP1/Np2,KM/KN 都为 t/(1-t),是不是一下又明白了很多,其他阶的贝塞尔曲线也是这样的。

三阶贝塞尔曲线 有两个控制点,为 P1, P2,其参数方程为

下图是生成三阶贝塞尔曲线的动画:

贝塞尔曲线的更多介绍和动画请参考 http://bbs.csdn.net/topics/390358020

绘制二阶贝塞尔曲线使用 quadTo(),第一个参数是控制点,第二个参数是曲线的终点

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void QPainterPath::quadTo(const QPointF &c, const QPointF &endPoint)

绘制三阶贝塞尔曲线使用 cubicTo(),第一个和第二个参数是控制点,第三个参数是曲线的终点

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void QPainterPath::cubicTo(const QPointF &c1, const QPointF &c2, const QPointF &endPoint)

或许你会问:为什么只看到了控制点和终点,没有看到起点?这是因为 QPainterPath 默认的起点在 (0, 0),可以使用 moveTo() 改变起点,前一条线的终点就是下一条线的起点,结束亦是开始,人生亦是如此,生活处处皆道理,留心处处是学问,一花一世界,一叶一菩提,编程亦能悟道。

这里演示一个小程序,QPainterPath 添加了三条贝塞尔曲线,每条曲线有两个控制点,如图显示的 0 到 5 个共 6 个控制点,拖动控制点就会改变它的坐标,然后生成新的贝塞尔曲线并显示出来,实时的看到变化的结果。通过拖动控制点,可以生成各种不同的平滑曲线,这就是贝塞尔曲线的魅力所在。

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// 文件名:BezierCurveWidget.h
#ifndef BEZIERCURVEWIDGET_H
#define BEZIERCURVEWIDGET_H
#include <QWidget>
#include <QPointF>
#include <QList>
#include <QPainterPath>
class BezierCurveWidget : public QWidget {
Q_OBJECT
public:
explicit BezierCurveWidget(QWidget *parent = 0);
~BezierCurveWidget();
protected:
void mousePressEvent(QMouseEvent *event) Q_DECL_OVERRIDE;
void mouseMoveEvent(QMouseEvent *event) Q_DECL_OVERRIDE;
void paintEvent(QPaintEvent *event) Q_DECL_OVERRIDE;
/**
* 使用 breakPoints 和 controlPoints 创建贝塞尔曲线
* 当控制点的坐标变化后都重新生成一次贝塞尔曲线
*/
QPainterPath createBezierCurve();
/**
* 创建显示控制点的圆的 bounding rectangle
* @param index 控制点在 controlPoints 中的下标
*/
QRect createControlPointBundingRect(int index);
/**
* 为了设置坐标方便,从 (0, 0) 开始设置而不是实际绘制的坐标,对绘制贝塞尔曲线和控制点的
* 坐标系做了偏移,在计算的时候,坐标也要是相对于新坐标系的坐标才行,不能是原始的坐标,
* 所以要对其也好做相应的偏移
* @param point - 例如鼠标按下时在 widget 上的原始坐标
*/
QPointF translatedPoint(const QPointF &point) const;
private:
QPainterPath bezierCurve; // 贝塞尔曲线
QList<QPointF *> breakPoints; // 贝塞尔曲线端点的坐标
QList<QPointF *> controlPoints; // 贝塞尔曲线控制点的坐标
int pressedControlPointIndex; // 鼠标按住的控制点在 controlPoints 里的下标
int controlPointRadius; // 显示控制点的圆的半径
int translatedX; // 坐标系 X 轴的偏移量
int translatedY; // 坐标系 Y 轴的偏移量
int flags; // 文本显示的参数
};
#endif // BEZIERCURVEWIDGET_H


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// 文件名:BezierCurveWidget.cpp
#include "BezierCurveWidget.h"
#include <QPainter>
#include <QMouseEvent>
BezierCurveWidget::BezierCurveWidget(QWidget *parent) : QWidget(parent) {
// 贝塞尔曲线的端点
breakPoints.append(new QPointF(0, 0));
breakPoints.append(new QPointF(100, 100));
breakPoints.append(new QPointF(200, 0));
breakPoints.append(new QPointF(300, 100));
// 第一段贝塞尔曲线控制点
controlPoints.append(new QPointF(50, 0));
controlPoints.append(new QPointF(50, 100));
// 第二段贝塞尔曲线控制点
controlPoints.append(new QPointF(150, 100));
controlPoints.append(new QPointF(150, 0));
// 第三段贝塞尔曲线控制点
controlPoints.append(new QPointF(250, 0));
controlPoints.append(new QPointF(250, 100));
// 坐标设置好后就可以生成贝塞尔曲线了
bezierCurve = createBezierCurve();
controlPointRadius = 8;
translatedX = 50;
translatedY = 50;
flags = Qt::AlignHCenter | Qt::AlignVCenter; // 水平和垂直居中
}
BezierCurveWidget::~BezierCurveWidget() {
qDeleteAll(breakPoints);
qDeleteAll(controlPoints);
}
void BezierCurveWidget::mousePressEvent(QMouseEvent *event) {
pressedControlPointIndex = -1;
// 绘制贝塞尔曲线和控制点的坐标系做了偏移,鼠标按下的坐标也要相应的偏移
QPointF p = translatedPoint(event->pos());
// 鼠标按下时,选择被按住的控制点
for (int i = 0; i < controlPoints.size(); ++i) {
QPainterPath path;
path.addEllipse(*controlPoints.at(i), controlPointRadius, controlPointRadius);
if (path.contains(p)) {
pressedControlPointIndex = i;
break;
}
}
}
void BezierCurveWidget::mouseMoveEvent(QMouseEvent *event) {
// 移动选中的控制点
if (pressedControlPointIndex != -1) {
QPointF p = translatedPoint(event->pos());
controlPoints.at(pressedControlPointIndex)->setX(p.x());
controlPoints.at(pressedControlPointIndex)->setY(p.y());
bezierCurve = createBezierCurve(); // 坐标发生变化后重新生成贝塞尔曲线
update(); // 刷新界面
}
}
QPainterPath BezierCurveWidget::createBezierCurve() {
QPainterPath curve;
curve.moveTo(*breakPoints.at(0));
curve.cubicTo(*controlPoints[0], *controlPoints[1], *breakPoints[1]);
curve.cubicTo(*controlPoints[2], *controlPoints[3], *breakPoints[2]);
curve.cubicTo(*controlPoints[4], *controlPoints[5], *breakPoints[3]);
return curve;
}
QRect BezierCurveWidget::createControlPointBundingRect(int index) {
int x = controlPoints.at(index)->x() - controlPointRadius;
int y = controlPoints.at(index)->y() - controlPointRadius;
return QRect(x, y, controlPointRadius * 2, controlPointRadius * 2);
}
QPointF BezierCurveWidget::translatedPoint(const QPointF &point) const {
return point - QPointF(translatedX, translatedY);
}
void BezierCurveWidget::paintEvent(QPaintEvent *) {
QPainter painter(this);
painter.setRenderHint(QPainter::Antialiasing);
painter.translate(translatedX, translatedY);
// 绘制贝塞尔曲线
painter.drawPath(bezierCurve);
// 绘制控制点和控制点的序号
painter.setBrush(Qt::lightGray);
for (int i = 0; i < controlPoints.size(); ++i) {
QRect rect = createControlPointBundingRect(i);
painter.drawEllipse(rect);
painter.drawText(rect, flags, QString("%1").arg(i));
}
}
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// 文件名:main.cpp
#include "BezierCurveWidget.h"
#include <QApplication>
int main(int argc, char *argv[]) {
QApplication a(argc, argv);
BezierCurveWidget w;
w.show();
return a.exec();
}

这个程序不能像拖动控制点那样拖动曲线的端点改变贝塞尔曲线,这就作为留给大家的作业吧。